Разборы задач по школьной математике

Здесь собрано то, что я двадцать с лишним лет объясняю у доски и что каждый год приходится объяснять заново. Задачи взяты из обычных учебников и контрольных работ, ничего экзотического. К каждой задаче написан не только ответ, а весь ход: что берём, почему берём именно это, где обычно ломается решение.

Сразу скажу, зачем сайт сделан. Готовые ответы в интернете и так лежат где угодно, списать можно за минуту. Только на контрольной списать не у кого, и на областной олимпиаде тоже. Поэтому здесь нет колонки «ответ» отдельно от решения: ответ стоит в конце разбора, после шагов. Если ребёнок дошёл до ответа сам и сверился — прекрасно, для этого всё и написано.

Разборы разложены по темам, от дробей до вероятности. Внизу каждой темы есть возврат к оглавлению. На двух отдельных страницах лежит то, что не поместилось: алгебра (преобразования, неравенства, банковские проценты, начала анализа) и геометрия, где чертежи описаны словами и текстовой схемой — так их видно и с телефона, и на распечатке.

Читать лучше с карандашом. Решение, которое вы прочитали глазами, через два дня выветривается почти полностью; решение, которое вы переписали в тетрадь со своими числами, держится до конца четверти. Проверено на нескольких сотнях учеников.

Содержание страницы

Обыкновенные и десятичные дроби
Проценты
Отношения, пропорции, масштаб
Линейные уравнения и текстовые задачи
Квадратные уравнения
Системы уравнений
Степени и корни
Прогрессии
Функции и графики
Начала тригонометрии
Вероятность и статистика
Задачи с кружка
Сквозные ошибки во всех темах
Памятки: формулы, которые нужно знать наизусть
Как готовиться к контрольной
Вопросы родителей

1. Обыкновенные и десятичные дроби

5-6 класс. Тема, на которой держится вся дальнейшая алгебра: если дроби хромают, то в восьмом классе хромать будет уже всё. Три разбора ниже закрывают три самые частые беды — общий знаменатель, деление на дробь и запятая в десятичных.

Задача 1 · сложение дробей с разными знаменателями · 5 класс

Выполните сложение: 5/12 + 7/18.

Ход решения

Знаменатели разные, значит первым делом ищем общий. Не «любой общий», а наименьший — иначе потом придётся сокращать.
Раскладываем оба знаменателя на простые множители: 12 = 2 · 2 · 3, 18 = 2 · 3 · 3. Записываю это столбиком, так виднее.
В наименьшее общее кратное каждый множитель входит в наибольшей степени, какая встретилась: двойка в квадрате (из 12) и тройка в квадрате (из 18). Получаем НОК = 4 · 9 = 36.
Считаем дополнительные множители: 36 : 12 = 3 для первой дроби, 36 : 18 = 2 для второй.
Домножаем числитель и знаменатель каждой дроби на свой множитель: 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36.
Складываем числители, знаменатель оставляем один: 15 + 14 = 29, итого 29/36.
Проверяем, сокращается ли: 29 — простое число, на 2 и 3 не делится, значит дробь несократимая.

Ответ: 29/36.

Где ошибаются. Складывают отдельно числители и отдельно знаменатели: 5 + 7 = 12, 12 + 18 = 30, «ответ» 12/30. Разубеждаю всегда одинаково: возьмите 1/2 + 1/2. По этому «правилу» выйдет 2/4, то есть половина, хотя две половины дают целое. Один такой пример на уроке действует лучше десяти замечаний.

Задача 2 · нахождение числа по его части · 6 класс

В баке залито 42 литра воды, и это составляет 3/5 его объёма. Сколько литров вмещает полный бак?

Ход решения

Определяем, что дано, а что ищем. Дана часть (42 литра) и известно, какая это часть (3/5). Ищем целое. Значит, задача на нахождение числа по его части, а не наоборот.
Правило: чтобы найти число по его части, часть делят на дробь. Пишем: 42 : 3/5.
Деление на дробь заменяем умножением на перевёрнутую: 42 · 5/3.
Сокращаем до умножения: 42 : 3 = 14, дальше 14 · 5 = 70.
Проверка обязательна, она занимает пять секунд: 3/5 от 70 — это 70 : 5 · 3 = 42. Сошлось.

Ответ: 70 литров.

Где ошибаются. Умножают вместо деления и получают 42 · 3/5 = 25,2 литра. Спасает простая прикидка: искомый бак больше того, что в нём налито, значит ответ обязан быть больше 42. Приучаю прикидывать ответ до вычислений — тогда абсурдное число само бросается в глаза.

Задача 3 · деление десятичных дробей · 6 класс

В кондитерском цехе 7,2 кг конфет фасуют в пакеты по 0,24 кг. Сколько получится пакетов?

Ход решения

Записываем действие: 7,2 : 0,24.
На дробь делить неудобно, поэтому избавляемся от запятой в делителе. Умножаем и делимое, и делитель на 100 — частное от этого не меняется.
Получаем 720 : 24.
Делим: 24 · 30 = 720, значит частное равно 30.
Прикидка: в килограмме примерно четыре пакета по 0,24, в семи с лишним килограммах — примерно тридцать. Порядок совпал.

7,2 : 0,24 = 720 : 24 = 30

Ответ: 30 пакетов.

Где ошибаются. Переносят запятую только в одном числе — например, делят 7,2 на 24 и получают 0,3. Запятую двигают в обоих числах на одинаковое число знаков, иначе меняется само частное. И ещё: считать надо по делителю, а не по делимому, — переносим ровно столько знаков, сколько их после запятой в делителе.

2. Проценты

6-9 класс, а на самом деле на всю жизнь. Проценты встречаются и в контрольной, и в чеке из магазина, и в договоре с банком. Главное, что нужно понять раз и навсегда: процент — это всегда процент от чего-то, и это «что-то» по ходу задачи умеет меняться.

Задача 4 · нахождение процента от числа · 6 класс

Абонемент в бассейн стоил 2500 рублей. С первого сентября цену подняли на 18 %. Сколько стал стоить абонемент?

Ход решения

Один процент — это сотая доля числа. Значит 18 % — это 0,18 от числа.
Считаем прибавку: 2500 · 0,18 = 450 рублей.
Складываем со старой ценой: 2500 + 450 = 2950 рублей.
Короткий путь, к которому стоит привыкать: подорожание на 18 % — это умножение на 1,18. Сразу 2500 · 1,18 = 2950.
Проверка: 450 от 2500 — это чуть меньше пятой части, а пятая часть равна 500. Похоже на правду.

Ответ: 2950 рублей, подорожание составило 450 рублей.

Где ошибаются. Забывают прибавить и пишут в ответ саму прибавку — 450 рублей. Перечитывайте вопрос задачи после того, как получили число: спрашивали «сколько стал стоить», а не «на сколько подорожал».

Задача 5 · сколько процентов одно число составляет от другого · 6 класс

В классе 40 человек написали пробную работу, справились 34. Какой процент учеников справился?

Ход решения

Сначала решаем, что считать за целое, то есть за 100 %. Здесь это все писавшие — 40 человек.
Находим, какую долю составляет часть: 34 : 40 = 0,85.
Переводим долю в проценты, умножая на 100: 0,85 · 100 = 85 %.
Полезно посчитать и дополнение: не справились 6 человек, это 15 %. Сумма 85 + 15 = 100 — сходится, значит нигде не ошиблись.

часть : целое · 100 % = 34 : 40 · 100 % = 85 %

Ответ: 85 %.

Где ошибаются. Делят наоборот, 40 на 34, и получают 117 %. Больше ста процентов часть от целого быть не может — это сигнал, что числа поставлены не в том порядке. В знаменателе всегда стоит то, что принято за целое.

Задача 6 · два изменения подряд · 8-9 класс

Куртка стоила 4800 рублей. В ноябре цену подняли на 15 %, а в декабре снизили на 15 % от новой цены. Сколько стала стоить куртка?

Ход решения

Первое изменение: подорожание на 15 % — умножение на 1,15. Считаем 4800 · 1,15 = 5520 рублей.
Второе изменение считается уже от новой цены, то есть от 5520, а не от 4800. Это ключевой момент всей задачи.
Снижение на 15 % — умножение на 0,85: 5520 · 0,85 = 4692 рубля.
В одну строчку: 4800 · 1,15 · 0,85 = 4800 · 0,9775 = 4692.
Смотрим на множитель 0,9775: он меньше единицы, значит итог заведомо ниже начальной цены. Это и есть ответ на вопрос «почему не вернулись к 4800».

Ответ: 4692 рубля, то есть на 108 рублей дешевле, чем было в октябре.

Где ошибаются. Рассуждают так: подняли на 15, опустили на 15, значит вернулись к прежней цене. Проверьте на круглом числе — возьмите 100 рублей: 100 → 115 → 97,75. Разница в том, что второй процент берётся от большего числа. Кстати, порядок действий на итог не влияет: если сначала снизить, а потом поднять, выйдут те же 4692 рубля.

Задача 7 · концентрация раствора · 8-9 класс

В 200 г раствора содержится 15 % соли. В раствор досыпали ещё 50 г соли и всё размешали. Какой стала концентрация?

Ход решения

Считаем, сколько соли было: 15 % от 200 г — это 200 · 0,15 = 30 г.
Соли стало больше: 30 + 50 = 80 г.
Но и весь раствор потяжелел: 200 + 50 = 250 г. Про этот шаг забывают чаще всего.
Концентрация — это доля соли во всём растворе: 80 : 250 = 0,32.
Переводим в проценты: 0,32 · 100 = 32 %.

c = масса соли : масса раствора = 80 : 250 = 0,32 = 32 %

Ответ: 32 %.

Где ошибаются. Делят новую массу соли на старую массу раствора: 80 : 200 = 40 %. Соль, которую досыпали, никуда из раствора не делась — она входит и в числитель, и в знаменатель. Полезно завести привычку выписывать в столбик три строки: «было — добавили — стало», отдельно для соли и отдельно для всего раствора.

3. Отношения, пропорции, масштаб

6-7 класс. Пропорция — это равенство двух отношений, и почти вся практическая арифметика сводится к ней. Отдельно разбираю обратную пропорциональность: её путают с прямой каждый год, без исключений.

Задача 8 · масштаб карты · 6 класс

На карте с масштабом 1 : 25 000 расстояние между двумя остановками равно 7,2 см. Какое это расстояние на местности?

Ход решения

Масштаб 1 : 25 000 читается так: один сантиметр на карте — это 25 000 сантиметров на земле.
Умножаем: 7,2 · 25 000 = 180 000 сантиметров.
Переводим в метры, деля на 100: 180 000 : 100 = 1800 м.
Переводим в километры: 1800 : 1000 = 1,8 км.
Прикидка: в таком масштабе один сантиметр — это 250 метров, значит семь с небольшим сантиметров дают примерно 1,8 км. Верно.

Ответ: 1,8 км.

Где ошибаются. Забывают, что в масштабе стоят сантиметры, и делят сразу на 1000, получая 180 км или 18 м. Правило простое: сначала получите ответ в сантиметрах, а уже потом переводите — 100 см в метре, 100 000 см в километре.

Задача 9 · обратная пропорциональность · 6-7 класс

Четыре одинаковых насоса откачивают котлован за 9 часов. За сколько часов справятся шесть таких же насосов?

Ход решения

Сначала решаем, какая здесь зависимость. Насосов больше — времени нужно меньше. Значит, пропорциональность обратная.
При обратной зависимости постоянным остаётся произведение величин. Считаем работу в «насосо-часах»: 4 · 9 = 36.
Эта же работа делится на шесть насосов: 36 : 6 = 6 часов.
Можно записать и пропорцией, но с перевёрнутым отношением: 4 : 6 = x : 9, откуда 6x = 36 и x = 6.
Проверка здравым смыслом: насосов стало в полтора раза больше, время должно уменьшиться в полтора раза — 9 : 1,5 = 6. Сошлось.

Ответ: за 6 часов.

Где ошибаются. Составляют обычную пропорцию 4 : 9 = 6 : x и получают 13,5 часа — то есть шесть насосов работают дольше четырёх. Прежде чем писать пропорцию, отвечайте на вопрос вслух: «когда одной величины больше, второй больше или меньше?» Если меньше — отношение во второй дроби переворачивается.

4. Линейные уравнения и текстовые задачи

7 класс. Само уравнение решается механически, трудность в другом — составить его по условию. Поэтому в каждом разборе ниже я отдельно выписываю, что обозначено за x: пока это не сформулировано словами, уравнение писать рано.

Задача 10 · уравнение с дробями · 7 класс

Решите уравнение (2x − 1)/3 − (x + 2)/4 = 1.

Ход решения

Знаменатели 3 и 4, их общий знаменатель 12. Умножаем на 12 обе части целиком, включая правую единицу.
Получаем: 4(2x − 1) − 3(x + 2) = 12. Обратите внимание, куда встали скобки — числитель идёт в скобках всегда.
Раскрываем скобки: 8x − 4 − 3x − 6 = 12. Перед второй скобкой минус, поэтому оба слагаемых внутри меняют знак.
Приводим подобные слагаемые в левой части: 5x − 10 = 12.
Переносим −10 вправо со сменой знака: 5x = 22.
Делим обе части на 5: x = 4,4.
Проверка подстановкой: (2 · 4,4 − 1)/3 = 7,8/3 = 2,6; (4,4 + 2)/4 = 6,4/4 = 1,6; разность 2,6 − 1,6 = 1. Верно.

Ответ: x = 4,4.

Где ошибаются. Умножают на 12 только дроби, а единицу справа оставляют как есть — тогда уравнение перестаёт быть равносильным. И второе: теряют скобки в числителе и раскрывают −(x + 2)/4 как −x + 2. Дробная черта работает как скобка, это стоит проговорить вслух перед каждой такой задачей.

Задача 11 · движение навстречу · 7 класс

Расстояние между двумя посёлками 315 км. Навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса со скоростями 70 км/ч и 65 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Ход решения

Рисуем отрезок и подписываем концы — это не формальность, а способ увидеть, что расстояние сокращают оба сразу.
За каждый час расстояние между автобусами уменьшается на сумму скоростей: 70 + 65 = 135 км/ч. Эта величина называется скоростью сближения.
Всё расстояние делим на скорость сближения: 315 : 135.
Сокращаем дробь: 315/135 = 63/27 = 7/3 часа.
Переводим в часы и минуты: 7/3 = 2 целых 1/3 часа, то есть 2 часа 20 минут.
Проверка: за 2⅓ часа первый прошёл 70 · 7/3 ≈ 163,3 км, второй 65 · 7/3 ≈ 151,7 км, вместе 315 км. Сходится.

t = S : (v₁ + v₂) = 315 : 135 = 7/3 ч = 2 ч 20 мин

Ответ: через 2 часа 20 минут.

Где ошибаются. Берут разность скоростей вместо суммы. Разность нужна в другой задаче — когда один догоняет другого и оба едут в одну сторону. Спрашивайте себя: расстояние между ними сокращается быстрее или медленнее, чем едет каждый? Навстречу — быстрее, значит складываем.

Задача 12 · движение по реке · 7-8 класс

Собственная скорость катера 12 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Катер прошёл 45 км по течению и вернулся обратно. Сколько времени он был в пути?

Ход решения

Считаем скорость по течению: река помогает, поэтому 12 + 3 = 15 км/ч.
Считаем скорость против течения: река мешает, поэтому 12 − 3 = 9 км/ч.
Время туда: 45 : 15 = 3 часа.
Время обратно: 45 : 9 = 5 часов.
Всего в пути: 3 + 5 = 8 часов.
Отдельно обратите внимание: средняя скорость за весь рейс равна 90 : 8 = 11,25 км/ч, а вовсе не 12. Это неочевидно и на олимпиадах любят спрашивать именно про это.

Ответ: 8 часов.

Где ошибаются. Складывают времена неправильно, посчитав всё расстояние 90 км по средней скорости 12 км/ч: выходит 7,5 часа. Средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей, а весь путь, делённый на всё время. Второе место, где спотыкаются: путают собственную скорость катера со скоростью по течению; выписывайте обе строки отдельно, до всяких вычислений.

Задача 13 · совместная работа · 8 класс

Первый рабочий выполняет заказ за 12 часов, второй за 18 часов. За сколько часов они выполнят заказ вдвоём?

Ход решения

Всю работу принимаем за единицу. Это условность, но она делает решение коротким.
Производительность первого: 1/12 работы в час. Производительность второго: 1/18 в час.
Вместе за час они делают 1/12 + 1/18. Общий знаменатель 36: 3/36 + 2/36 = 5/36 работы в час.
Время находим делением всей работы на общую производительность: 1 : 5/36 = 36/5.
36/5 = 7,2 часа. Это 7 часов 12 минут (0,2 часа — это 12 минут, а не 20; десятые доли часа переводим умножением на 60).

1 : (1/12 + 1/18) = 1 : 5/36 = 36/5 = 7,2 ч

Ответ: за 7,2 часа, то есть за 7 часов 12 минут.

Где ошибаются. Складывают сами времена (12 + 18 = 30) или берут среднее (15). Оба ответа заведомо неверны: вдвоём работа делается быстрее, чем в одиночку, значит ответ обязан быть меньше 12 — меньше наименьшего из двух времён. Эту прикидку я требую произносить до решения.

5. Квадратные уравнения

8 класс. Тут всё держится на трёх вещах: правильно выписать коэффициенты a, b, c вместе со знаками; аккуратно посчитать дискриминант; не потерять второй корень. Ниже разобраны все три места по очереди.

Задача 14 · через дискриминант · 8 класс

Решите уравнение 3x² + 5x − 2 = 0.

Ход решения

Выписываем коэффициенты со знаками: a = 3, b = 5, c = −2. Минус относится к коэффициенту, а не остаётся где-то в стороне.
Считаем дискриминант по формуле D = b² − 4ac: D = 25 − 4 · 3 · (−2) = 25 + 24 = 49.
Дискриминант положительный, значит корней два. Извлекаем корень: √49 = 7.
Подставляем в формулу x = (−b ± √D) / (2a): x = (−5 ± 7) / 6.
Первый корень: (−5 + 7)/6 = 2/6 = 1/3.
Второй корень: (−5 − 7)/6 = −12/6 = −2.
Проверка по теореме Виета: сумма корней должна равняться −b/a = −5/3, и правда 1/3 − 2 = −5/3; произведение равно c/a = −2/3, и правда 1/3 · (−2) = −2/3.

D = b² − 4ac, x = (−b ± √D) / (2a)

Ответ: x₁ = 1/3, x₂ = −2.

Где ошибаются. Теряют знак у c и считают D = 25 − 24 = 1. Минус на минус даёт плюс, поэтому при отрицательном c дискриминант всегда растёт. Второе: подставляют b вместо −b в числитель. Формулу лучше проговаривать целиком, «минус бэ плюс-минус корень из дэ, делить на два а», и записывать её на полях перед каждой задачей, пока не станет автоматизмом.

Задача 15 · подбор корней по теореме Виета · 8 класс

Решите уравнение x² − 11x + 24 = 0, не считая дискриминант.

Ход решения

Уравнение приведённое: перед x² стоит единица. Только для таких работает быстрая теорема Виета в простом виде.
По теореме сумма корней равна 11 (это −b), а произведение равно 24 (это c).
Перебираем пары множителей числа 24: 1 и 24, 2 и 12, 3 и 8, 4 и 6.
Ищем ту пару, где сумма равна 11: 3 + 8 = 11. Нашли.
Оба корня положительные, потому что произведение положительное, а сумма положительная.
Если бы пара не нашлась за полминуты, никакой трагедии — считаем дискриминант обычным способом. Виет экономит время, но не обязателен.

Ответ: x₁ = 3, x₂ = 8.

Где ошибаются. Забывают, что сумма корней равна −b, а не b, и подбирают числа с суммой −11. Знак минус в формуле съедается почти всегда. И ещё: применяют теорему к неприведённому уравнению вроде 2x² − 11x + 24 = 0 — там сумма равна 11/2, и устный подбор уже не спасает.

Задача 16 · текстовая задача на квадратное уравнение · 8 класс

Периметр прямоугольного участка 34 м, а его площадь 66 м². Найдите стороны участка.

Ход решения

Обозначаем: пусть одна сторона равна x метров, вторая y метров.
Периметр: 2(x + y) = 34, отсюда x + y = 17.
Площадь: xy = 66.
Получилась сумма и произведение двух чисел — это в точности теорема Виета, но в обратную сторону. Значит x и y являются корнями уравнения t² − 17t + 66 = 0.
Дискриминант: D = 289 − 264 = 25, корень из него 5.
Корни: t = (17 + 5)/2 = 11 и t = (17 − 5)/2 = 6.
Проверяем по условию: периметр 2(11 + 6) = 34 м, площадь 11 · 6 = 66 м². Оба условия выполнены.

Ответ: стороны 11 м и 6 м.

Где ошибаются. Пишут x + y = 34, забыв, что периметр — это сумма всех четырёх сторон. Дальше решение идёт красиво и правильно, а ответ неверный: обидная потеря на контрольной. Возьмите за правило после ответа возвращаться к первой строке условия и пересчитывать по ней.

6. Системы уравнений

7-9 класс. Способов два — подстановка и сложение. Выбор между ними не дело вкуса: смотрите на коэффициенты, и способ выберется сам. Разбираю оба на понятных примерах.

Задача 17 · способ подстановки · 7 класс

Решите систему: 3x − 2y = 16 и x + 4y = 10.

Ход решения

Ищем переменную, которую проще всего выразить. Во втором уравнении x стоит с коэффициентом 1 — значит выражаем именно его.
Из второго уравнения: x = 10 − 4y.
Подставляем это выражение в первое уравнение вместо x: 3(10 − 4y) − 2y = 16.
Раскрываем скобки: 30 − 12y − 2y = 16.
Приводим подобные: 30 − 14y = 16, дальше −14y = −14, значит y = 1.
Возвращаемся к выражению для x: x = 10 − 4 · 1 = 6.
Проверка в обоих уравнениях: 3 · 6 − 2 · 1 = 16 — верно; 6 + 4 · 1 = 10 — верно.

Ответ: x = 6, y = 1. Записывается парой: (6; 1).

Где ошибаются. Найдя y, останавливаются и пишут в ответ одно число. Решение системы — это пара значений, и без второго ответ считается неполным. Ещё ошибка: подставляют выражение обратно в то же самое уравнение, откуда его получили, и приходят к тождеству 0 = 0, которое ничего не даёт.

Задача 18 · система по условию задачи · 8-9 класс

На экскурсию купили 12 билетов и заплатили 3300 рублей. Взрослый билет стоит 350 рублей, детский 200 рублей. Сколько было взрослых и сколько детских билетов?

Ход решения

Обозначаем словами: пусть a — число взрослых билетов, d — число детских.
По количеству билетов: a + d = 12.
По деньгам: 350a + 200d = 3300. Каждое слагаемое — это цена, умноженная на количество.
Из первого уравнения d = 12 − a и подставляем во второе: 350a + 200(12 − a) = 3300.
Раскрываем: 350a + 2400 − 200a = 3300, то есть 150a = 900.
Отсюда a = 6, тогда d = 12 − 6 = 6.
Проверка деньгами: 6 · 350 + 6 · 200 = 2100 + 1200 = 3300 рублей. Верно.

Ответ: 6 взрослых билетов и 6 детских.

Где ошибаются. Пишут второе уравнение как 350 + 200 = 3300 или путают, что на что умножать. Помогает подпись под каждым уравнением на русском языке: «сколько всего билетов» и «сколько всего денег». Пока подпись не написана, уравнение писать не даю — за годы это сэкономило ученикам куда больше времени, чем отняло.

7. Степени и корни

8-9 класс. Свойств степени всего пять, и они укладываются в одну строчку. Беда обычно не в них, а в том, что их применяют не глядя: складывают показатели там, где нужно умножать, и наоборот.

a^m · aⁿ = a^m+n · a^m : aⁿ = a^m−n · (a^m)ⁿ = a^mn · (ab)ⁿ = aⁿbⁿ · a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Задача 19 · упрощение выражения со степенями · 8 класс

Упростите выражение (2a²b)³ · (ab²)².

Ход решения

Возводим в степень первую скобку. В степень возводится каждый множитель, и число 2 тоже: (2a²b)³ = 2³ · a⁶ · b³ = 8a⁶b³.
Показатель у a был 2, при возведении в куб показатели перемножаются: 2 · 3 = 6. Не складываются.
Возводим вторую скобку: (ab²)² = a²b⁴.
Теперь перемножаем то, что получилось: 8a⁶b³ · a²b⁴.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: a⁶ · a² = a⁸, b³ · b⁴ = b⁷.
Собираем ответ: 8a⁸b⁷.
Быстрая проверка: подставьте a = 1, b = 1. Исходное выражение даёт 2³ · 1 = 8, ответ тоже 8. Совпало — значит числовой коэффициент не потерян.

Ответ: 8a⁸b⁷.

Где ошибаются. Возводят в степень букву, а число оставляют: пишут 2a⁶b³ вместо 8a⁶b³. Скобка означает, что в степень идёт всё её содержимое. Проверка подстановкой единиц ловит эту ошибку за пять секунд, поэтому советую делать её всегда.

Задача 20 · стандартный вид числа · 8-9 класс

Запишите число 0,00034 в стандартном виде и вычислите (3 · 10⁵) · (4 · 10⁻²).

Ход решения

Стандартный вид — это a · 10ⁿ, где a от 1 до 10. Значит запятую в числе 0,00034 надо поставить после первой значащей цифры: 3,4.
Считаем, на сколько разрядов сдвинули запятую: на четыре вправо. Число маленькое, меньше единицы, поэтому показатель отрицательный: 0,00034 = 3,4 · 10⁻⁴.
Теперь произведение. Отдельно перемножаем числа: 3 · 4 = 12.
Отдельно степени десятки, складывая показатели: 10⁵ · 10⁻² = 10⁵⁻² = 10³.
Пока получилось 12 · 10³, но это не стандартный вид: 12 больше десяти. Переписываем: 1,2 · 10⁴.
Проверка в лоб: 300 000 · 0,04 = 12 000, и правда 1,2 · 10⁴.

Ответ: 0,00034 = 3,4 · 10⁻⁴; произведение равно 1,2 · 10⁴.

Где ошибаются. Путают знак показателя: для чисел меньше единицы он отрицательный, для больших — положительный. И забывают доводить ответ до стандартного вида, оставляя 12 · 10³. На экзамене такую запись засчитывают не всегда, лучше приучаться сразу.

Задача 21 · действия с квадратными корнями · 8 класс

Вычислите √72 − √50 + √8.

Ход решения

Складывать корни напрямую нельзя. Сначала из-под каждого выносим то, что выносится.
72 = 36 · 2, поэтому √72 = √36 · √2 = 6√2.
50 = 25 · 2, поэтому √50 = 5√2.
8 = 4 · 2, поэтому √8 = 2√2.
Все три слагаемых свелись к √2 — теперь их можно складывать как подобные: 6√2 − 5√2 + 2√2 = (6 − 5 + 2)√2 = 3√2.
Прикидка ответа: √2 ≈ 1,41, значит 3√2 ≈ 4,24. Проверим исходное: 8,49 − 7,07 + 2,83 ≈ 4,25. Сошлось с точностью до округления.

Ответ: 3√2.

Где ошибаются. Пишут √72 − √50 = √22. Так делать нельзя: корень из разности и разность корней — разные вещи. Проверяется на пальцах: √9 + √16 = 3 + 4 = 7, а √25 = 5. Ищите под корнем наибольший квадрат-множитель: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 — этот ряд стоит помнить наизусть.

8. Прогрессии

9 класс. Формул здесь ровно четыре, и они всегда лежат в справочных материалах на экзамене. Значит, задача сводится к тому, чтобы правильно определить тип прогрессии и не перепутать номер члена с его значением.

Задача 22 · арифметическая прогрессия · 9 класс

В арифметической прогрессии первый член равен 5, разность равна 3. Найдите двадцатый член и сумму первых двадцати членов.

Ход решения

Выписываем данные: a₁ = 5, d = 3, n = 20.
Формула n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Обратите внимание на (n − 1), а не n: от первого до двадцатого шагов девятнадцать, а не двадцать.
Считаем: a₂₀ = 5 + 19 · 3 = 5 + 57 = 62.
Формула суммы: Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2. Складываем первый и последний, умножаем на количество, делим пополам.
Считаем: S₂₀ = (5 + 62) · 20 / 2 = 67 · 10 = 670.
Проверка на маленьком куске: первые пять членов 5, 8, 11, 14, 17, их сумма 55. По формуле (5 + 17) · 5 / 2 = 55. Формула работает.

aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2

Ответ: a₂₀ = 62, S₂₀ = 670.

Где ошибаются. Умножают разность на n вместо (n − 1) и получают 65. Ошибка ровно на одну разность, поэтому её трудно заметить — ответ выглядит правдоподобно. Хорошая привычка: выписать первые три-четыре члена руками и убедиться, что формула их выдаёт.

Задача 23 · геометрическая прогрессия · 9 класс

В геометрической прогрессии b₁ = 3, знаменатель q = 2. Найдите седьмой член и сумму первых семи членов.

Ход решения

Данные: b₁ = 3, q = 2, n = 7.
Формула n-го члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Снова показатель на единицу меньше номера.
Считаем степень: q⁶ = 2⁶ = 64.
Тогда b₇ = 3 · 64 = 192.
Формула суммы при q ≠ 1: Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1).
Считаем: S₇ = 3 · (2⁷ − 1) / (2 − 1) = 3 · (128 − 1) / 1 = 3 · 127 = 381.
Проверка сложением: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 = 381. Совпало.

Ответ: b₇ = 192, S₇ = 381.

Где ошибаются. Берут в формуле суммы показатель n − 1 вместо n — по аналогии с формулой члена. В сумме степень именно n, это надо запомнить отдельно. И ещё частое: определяют тип прогрессии наугад. Проверяйте на данных: если соседние члены отличаются прибавлением одного и того же — арифметическая, если умножением — геометрическая.

9. Функции и графики

7-9 класс. График — это не картинка для красоты, а способ увидеть ответ до вычислений. Разбираю три типовых сюжета: прямая по двум точкам, парабола и обратная пропорциональность.

Задача 24 · прямая по двум точкам · 7-8 класс

График линейной функции y = kx + b проходит через точки (1; 5) и (3; 11). Найдите k и b.

Ход решения

Точка на графике означает: подставили её x, получили её y. Значит обе точки подходят в уравнение.
Первая точка даёт: 5 = k · 1 + b, то есть k + b = 5.
Вторая точка даёт: 11 = k · 3 + b, то есть 3k + b = 11.
Вычитаем из второго уравнения первое, b при этом уходит: 2k = 6, значит k = 3.
Подставляем k в первое: 3 + b = 5, значит b = 2.
Функция найдена: y = 3x + 2. Проверяем вторую точку: 3 · 3 + 2 = 11. Верно.
Смысл коэффициентов: k = 3 — угловой коэффициент, прямая идёт вверх; b = 2 — точка пересечения с осью y.

Ответ: k = 3, b = 2, функция y = 3x + 2.

Где ошибаются. Путают местами координаты точки и подставляют 1 вместо y. В записи (1; 5) первым всегда идёт x, вторым y — это соглашение, а не мелочь. Полезно подписать над числами буквы прямо в тетради, пока рука не привыкла.

Задача 25 · парабола · 8-9 класс

Постройте описание графика функции y = x² − 6x + 5: найдите вершину, нули и промежутки возрастания.

Ход решения

Коэффициент при x² равен 1, он положительный — значит ветви параболы направлены вверх, а вершина будет самой нижней точкой.
Абсцисса вершины: x₀ = −b / (2a) = 6 / 2 = 3.
Ордината вершины: подставляем x = 3 в функцию, y₀ = 9 − 18 + 5 = −4. Вершина в точке (3; −4).
Нули функции — это корни уравнения x² − 6x + 5 = 0. По теореме Виета сумма 6, произведение 5, значит корни 1 и 5.
График пересекает ось x в точках (1; 0) и (5; 0), а ось y в точке (0; 5) — это свободный член.
Слева от вершины функция убывает, справа возрастает: убывает при x ≤ 3, возрастает при x ≥ 3.
Наименьшее значение равно −4 и достигается в вершине; наибольшего значения нет, ветви уходят вверх.

   y
   |    \                     /
 5 +-----*                   /
   |      \                 /
   |       \               /
 0 +--------*-------------*-------- x
   |     1   \           /   5
   |          \         /
-4 +-----------*-------*
   |            вершина (3; -4)

Схема нарисована знаками, чтобы её было видно и с телефона, и на распечатке. Настоящий чертёж стройте по клеткам.

Ответ: вершина (3; −4), нули x = 1 и x = 5, убывает при x ≤ 3, возрастает при x ≥ 3.

Где ошибаются. Теряют минус в формуле вершины и получают x₀ = −3. Тогда весь дальнейший разбор уезжает не туда. Проверка простая: вершина обязана лежать ровно посередине между нулями, а середина между 1 и 5 — это 3.

Задача 26 · обратная пропорциональность · 8 класс

График функции y = k/x проходит через точку (4; 3). Найдите k и определите, проходит ли график через точку (−6; −2).

Ход решения

Подставляем координаты точки в формулу: 3 = k / 4.
Умножаем обе части на 4: k = 12. Функция найдена: y = 12/x.
Проверяем вторую точку: подставляем x = −6, получаем y = 12 / (−6) = −2.
Полученное значение совпало с заданным, значит точка (−6; −2) на графике лежит.
Полезный признак: для y = k/x произведение координат любой точки графика постоянно и равно k. Проверяем: 4 · 3 = 12 и (−6) · (−2) = 12. Оба раза двенадцать.
Так как k положительное, ветви гиперболы лежат в первой и третьей четвертях. При x = 0 функция не определена.

Ответ: k = 12, функция y = 12/x, точка (−6; −2) графику принадлежит.

Где ошибаются. Забывают, что x = 0 в область определения не входит, и рисуют сплошную линию через начало координат. Гипербола состоит из двух отдельных ветвей и оси не касается никогда. Второе: при отрицательных координатах теряют минус и решают, что точка не подходит.

10. Начала тригонометрии

9-11 класс. Начинается всё с прямоугольного треугольника и трёх отношений сторон. Дальше добавляется основное тождество, из которого выводится почти всё остальное.

Задача 27 · основное тригонометрическое тождество · 9 класс

Известно, что sin α = 0,6, угол α острый. Найдите cos α и tg α.

Ход решения

Пользуемся основным тождеством: sin²α + cos²α = 1.
Выражаем косинус: cos²α = 1 − sin²α = 1 − 0,36 = 0,64.
Извлекаем корень: cos α = ±0,8. Знак выбираем по условию — угол острый, значит косинус положительный, cos α = 0,8.
Тангенс равен отношению синуса к косинусу: tg α = 0,6 / 0,8 = 0,75.
Проверка через треугольник: катеты 3 и 4, гипотенуза 5 — знаменитая тройка. Синус 3/5 = 0,6, косинус 4/5 = 0,8, тангенс 3/4 = 0,75. Всё совпало.

sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

Ответ: cos α = 0,8, tg α = 0,75.

Где ошибаются. Считают, что раз sin α = 0,6, то cos α = 0,4 — «в сумме единица». В тождестве складываются квадраты, а не сами величины. И второе: забывают выбрать знак корня по условию задачи; если бы угол был тупым, косинус вышел бы −0,8.

Задача 28 · формула двойного угла · 10-11 класс

Вычислите cos 2α, если sin α = 0,6.

Ход решения

Формула косинуса двойного угла имеет три записи: cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1.
Выбираем ту, где нужен только синус, — он у нас и дан: cos 2α = 1 − 2sin²α.
Подставляем: 1 − 2 · 0,36 = 1 − 0,72 = 0,28.
Заметьте: знак угла α нам не понадобился совсем. В этой формуле синус входит в квадрате, поэтому четверть угла на ответ не влияет.
Перекрёстная проверка первой записью: cos²α − sin²α = 0,64 − 0,36 = 0,28. Тот же ответ.

Ответ: cos 2α = 0,28.

Где ошибаются. Пишут cos 2α = 2 cos α — по аналогии с раскрытием скобок. Двойка внутри аргумента функции не выносится наружу. То же и с sin 2α: это 2 sin α cos α, а не 2 sin α. Из трёх записей выбирайте ту, в которой стоит уже известная вам величина, тогда лишних действий не будет.

11. Вероятность и статистика

7-9 класс. Раздел молодой, в школьной программе он появился недавно, и родители нередко его не изучали вовсе. Тем не менее на экзамене задача по вероятности стоит одна и решается в два действия.

Задача 29 · классическая вероятность · 9 класс

В коробке 40 лампочек, из них 6 бракованных. Наугад берут одну лампочку. Какова вероятность, что она исправна?

Ход решения

Считаем общее число исходов: лампочек всего 40, любую можно взять — это 40 равновозможных исходов.
Считаем благоприятные исходы: исправных лампочек 40 − 6 = 34.
Вероятность — это отношение благоприятных исходов ко всем: P = 34 / 40.
Сокращаем и переводим в десятичную дробь: 34/40 = 17/20 = 0,85.
Проверка: вероятность взять бракованную равна 6/40 = 0,15, и сумма 0,85 + 0,15 = 1. Так и должно быть — что-то одно произойдёт обязательно.

P = число благоприятных исходов : число всех исходов

Ответ: 0,85.

Где ошибаются. Ставят в знаменатель число исправных, а не общее количество. В знаменателе всегда всё множество, из которого выбирают. И помните границы: вероятность не бывает больше единицы и меньше нуля — ответ 1,17 означает, что где-то перепутаны числитель со знаменателем.

Задача 30 · среднее, медиана, мода · 7-9 класс

В журнале выставлены отметки: 4, 5, 5, 3, 4, 5, 2, 4, 5. Найдите среднее арифметическое, медиану и моду ряда.

Ход решения

Упорядочиваем ряд по возрастанию — без этого шага медиана не находится: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Среднее арифметическое: складываем все числа и делим на их количество. Сумма 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 = 37, чисел девять.
37 : 9 ≈ 4,11.
Медиана — число, стоящее ровно посередине упорядоченного ряда. Чисел девять, середина — пятое по счёту. Это 4.
Мода — то значение, которое встречается чаще всех. Пятёрок четыре, четвёрок три, значит мода равна 5.
Если бы чисел было чётное количество, медианой считалось бы среднее арифметическое двух средних значений.

Показатель	Значение	Что он показывает
Среднее арифметическое	≈ 4,11	Общий уровень, но его сильно тянут вниз редкие двойки
Медиана	4	Отметка «серединного» ученика, к выбросам устойчива
Мода	5	Самая частая отметка в списке

Ответ: среднее ≈ 4,11, медиана 4, мода 5.

Где ошибаются. Ищут медиану в неупорядоченном ряду и берут просто пятое число из условия — получается 4 случайно, а на другом наборе выйдет неверно. И путают медиану со средним: это разные вещи, что хорошо видно, если к ряду дописать одну двойку.

12. Задачи с кружка

Эти четыре задачи не из учебника. Их решают не приёмом, а рассуждением, и формулы тут почти не нужны. Мы разбираем такие по вторникам, и именно они чаще всего попадаются на школьном и областном этапах олимпиады. Если ребёнок уверенно решает школьную программу, а интереса нет — начните отсюда.

Задача 31 · взвешивания · 6-9 класс

Есть девять одинаковых на вид монет, одна из них фальшивая и легче настоящих. Есть чашечные весы без гирь. Как найти фальшивую монету за два взвешивания?

Ход рассуждения

Первое, что нужно понять: весы без гирь отвечают не числом, а одним из трёх слов — «левая легче», «правая легче», «равно». Три ответа за одно взвешивание.
Значит, за два взвешивания различимых исходов девять: три на три. Ровно столько же, сколько монет. Это подсказка, что делить надо на три равные кучки, а не пополам.
Делим монеты на три кучки по три штуки: A, B и C.
Первое взвешивание: кладём A против B. Если одна чашка легче — фальшивая в ней. Если равновесие — обе кучки настоящие, значит фальшивая в C.
Мы определили кучку из трёх монет за одно взвешивание. Дальше повторяем тот же приём.
Второе взвешивание: из найденной тройки кладём одну монету против другой. Легче одна из них — она и фальшивая. Равновесие — фальшивая та, что осталась на столе.

        9 монет
    /      |      \
   A(3)   B(3)   C(3)      1-е взвешивание: A ? B
   легче  легче  равно -> C
    |
   3 монеты: m1 ? m2       2-е взвешивание
   легче одна -> она
   равно -> третья

Ответ: делить на три кучки по три монеты, а затем тройку — на три монеты; двух взвешиваний достаточно.

Где буксуют. Почти все начинают делить пополам, как при поиске в списке. Пополам девять не делится, и решение сразу упирается в третье взвешивание. Приём общий: если прибор даёт три разных ответа, делите на три части. Кстати, тем же способом из 27 монет фальшивую находят за три взвешивания.

Задача 32 · чётность и раскраска · 7-9 класс

Из шахматной доски 8 × 8 вырезали две противоположные угловые клетки. Можно ли оставшиеся 62 клетки полностью замостить костяшками домино размером 1 × 2, без наложений и выступов?

Ход рассуждения

Считаем клетки: 64 − 2 = 62, это чётное число, и на 31 костяшку делится. Значит по количеству препятствий нет — но это ещё ничего не доказывает.
Смотрим на цвет. Доска раскрашена в шахматном порядке: 32 белые клетки и 32 чёрные.
Ключевое наблюдение: любая костяшка домино, куда её ни положи, накрывает ровно две соседние клетки, а соседние клетки всегда разного цвета. То есть одна белая и одна чёрная.
Значит 31 костяшка накроет ровно 31 белую и 31 чёрную клетку.
Теперь считаем, что осталось на доске. Противоположные углы шахматной доски всегда одного цвета — оба, например, белые. Мы их вырезали, поэтому осталось 30 белых и 32 чёрные клетки.
Требуется 31 и 31, а имеется 30 и 32. Совпасть не может ни при каком раскладе.

   вырезаны углы одного цвета
   X . # . # . # .
   . # . # . # . #
   # . # . # . # .
   . # . # . # . #
   # . # . # . # .
   . # . # . # . #
   # . # . # . # .
   . # . # . # . X

   белых 30, чёрных 32 -> 31 костяшка не ляжет

Ответ: нельзя. Костяшки требуют поровну клеток двух цветов, а после вырезания углов их 30 и 32.

Где буксуют. Пытаются доказать перебором: кладут костяшки так и сяк, пока не надоест. Перебором «нельзя» не доказывается никогда — можно лишь не найти способ. Нужен признак, который сохраняется при любом ходе; здесь это баланс цветов. Такое рассуждение называется инвариантом и встречается на олимпиадах постоянно.

Задача 33 · последняя цифра степени · 8-11 класс

Какой цифрой оканчивается число 7²⁰²⁵?

Ход рассуждения

Считать всё число бессмысленно, да и невозможно. Смотрим только на последнюю цифру: она зависит лишь от последней цифры предыдущей степени.
Выписываем начало: 7¹ = 7, 7² = 49, 7³ = 343, 7⁴ = 2401, 7⁵ = 16807.
Последние цифры идут так: 7, 9, 3, 1, снова 7. Цикл повторяется с периодом четыре.
Значит, чтобы узнать цифру у степени 2025, достаточно найти остаток от деления 2025 на 4.
2025 = 4 · 506 + 1, остаток равен 1.
Остаток 1 соответствует первой цифре цикла, то есть семёрке.
Проверка на маленьком показателе: остаток от 5 на 4 тоже равен 1, и 7⁵ = 16807 действительно оканчивается семёркой.

7¹→7 7²→9 7³→3 7⁴→1 7⁵→7 … период 4; 2025 mod 4 = 1

Ответ: цифрой 7.

Где буксуют. Берут остаток и подставляют его как номер, забыв, что остаток 0 соответствует не нулевой, а последней цифре цикла — четвёртой. Для 7²⁰²⁴ остаток нулевой, и ответом будет 1, а не 7. На этом месте ошибаются даже те, кто понял идею.

Задача 34 · переливания · 5-8 класс

Есть два сосуда без делений: на 5 литров и на 3 литра, и кран с водой. Как отмерить ровно 4 литра?

Ход рассуждения

Разрешённых действий всего три: налить сосуд доверху из крана, вылить сосуд начисто, перелить из одного в другой до заполнения или до опустошения. Никаких «на глаз».
Наполняем пятилитровый: (5; 0).
Переливаем из него в трёхлитровый доверху. В трёхлитровый ушло 3 литра, в большом осталось 2: (2; 3).
Выливаем трёхлитровый: (2; 0).
Переливаем оставшиеся 2 литра в трёхлитровый: (0; 2). Теперь в маленьком сосуде свободен ровно 1 литр — это и есть весь фокус.
Снова наполняем пятилитровый доверху: (5; 2).
Доливаем из большого в маленький до краёв — влезет только 1 литр. В большом останется 5 − 1 = 4 литра: (4; 3).

  шаг  5 л   3 л   что сделали
   1    5     0    налили большой
   2    2     3    перелили в малый
   3    2     0    вылили малый
   4    0     2    перелили остаток
   5    5     2    налили большой
   6    4     3    долили малый до краёв

Ответ: 4 литра остаются в пятилитровом сосуде после шести действий.

Где буксуют. Пытаются угадать одним-двумя переливаниями и бросают. Помогает таблица состояний, как в схеме выше: записывайте пару чисел после каждого действия, тогда видно, что повторов нет и вы движетесь. Тот же приём решает и обратную задачу — отмерить 4 литра в трёхлитровом сосуде нельзя, а вот 1 литр получается за четыре шага.

Сквозные ошибки: восемь мест, где теряют баллы во всех темах

Список составлен по своим же проверенным работам за несколько лет. Темы разные, а ошибки одни и те же. Проверьте себя по нему перед сдачей любой работы — это две минуты.

Потерянный знак при раскрытии скобок. Перед скобкой минус — меняются знаки у всех слагаемых внутри, а не у первого. Это ошибка номер один во всех классах без исключения.
Ответ не на тот вопрос. Спрашивали «на сколько больше», а в ответе стоит само значение. Перечитывайте вопрос после того, как получили число, — привычка стоит примерно балла на каждой работе.
Забытый второй корень. Квадратное уравнение даёт два корня, извлечение корня даёт два знака, модуль раскрывается двумя случаями. Один ответ там, где их два, — это половина решения.
Единицы не переведены. В условии метры и сантиметры вперемешку, а считают как есть. Приведите всё к одной единице в самой первой строке решения.
Проценты от разных величин. Второй процент почти всегда берётся от нового числа, а не от исходного. Выписывайте, от чего именно считаете, прямо в решении.
Округление раньше времени. Округлили в середине решения, потом ещё раз — ответ уехал. Округляйте один раз, в самом конце, и ровно до той точности, о которой просят.
Область определения. Знаменатель нулю не равен, под чётным корнем неотрицательное, длина и количество не бывают отрицательными. Найденный корень, который не проходит по смыслу задачи, надо не подгонять, а отбросить, отметив это в решении.
Нет проверки. Проверка занимает меньше времени, чем кажется, и ловит почти все арифметические ошибки. Для уравнения — подстановка, для текстовой задачи — пересчёт по первой строке условия.

Отдельно скажу про почерк и оформление. «Единица», похожая на семёрку, и «икс», похожий на плюс, стоили моим ученикам больше баллов, чем незнание формул. Если проверяющий не может прочитать, он не обязан догадываться.

Памятки: то, что нужно знать наизусть

Эти пять листков я раздаю в начале года. Их не нужно «учить» специально — достаточно держать под рукой и подглядывать, пока не запомнится само. К концу второй четверти подглядывать перестают.

Памятка 1. Формулы сокращённого умножения

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a − b)(a + b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Самая частая ошибка школы — квадрат суммы без среднего слагаемого: (a + b)² = a² + b². Опровергается за десять секунд на числах: (3 + 4)² = 49, а 9 + 16 = 25. Разница как раз и есть 2ab = 24.

Разность квадратов узнавайте в лицо: 4x² − 9 — это (2x)² − 3², то есть (2x − 3)(2x + 3). А вот суммы квадратов a² + b² в школьном курсе не раскладывают — не тратьте время на её поиски.

Памятка 2. Признаки делимости

На что делится	Признак	Пример
на 2	последняя цифра чётная	4 738 — да
на 3	сумма цифр делится на 3	2 415: 2+4+1+5 = 12 — да
на 4	число из двух последних цифр делится на 4	7 316 — да, 16 делится
на 5	оканчивается на 0 или 5	2 405 — да
на 6	делится и на 2, и на 3 одновременно	1 524 — да
на 8	число из трёх последних цифр делится на 8	9 128 — да, 128 делится
на 9	сумма цифр делится на 9	5 823: 5+8+2+3 = 18 — да
на 10	оканчивается на 0	3 470 — да
на 11	разность сумм цифр на чётных и нечётных местах делится на 11	9 174: (9+7) − (1+4) = 11 — да
на 25	оканчивается на 00, 25, 50 или 75	4 675 — да

Признаки нужны не сами по себе, а чтобы сокращать дроби и раскладывать числа на множители, не перебирая всё подряд. Когда в задаче появляется дробь вроде 5 823/9, признак делимости отвечает быстрее калькулятора.

Памятка 3. Площади и периметры

прямоугольник: S = ab, P = 2(a + b)
квадрат: S = a², P = 4a
треугольник: S = ½ · a · h, а также S = ½ · a · b · sin γ
прямоугольный треугольник: S = ½ · катет · катет
параллелограмм: S = a · h
трапеция: S = ½ · (a + b) · h
ромб: S = ½ · d₁ · d₂
круг: S = πR², длина окружности C = 2πR

Заметьте одно: в каждой формуле с высотой берётся высота, проведённая именно к этой стороне. Половина ошибок в геометрии — от того, что взята высота к другой стороне. И вторая привычка: следите за единицами. Если стороны в сантиметрах, площадь выйдет в квадратных сантиметрах, а не в квадратных метрах.

Памятка 4. Числа, которые должны отскакивать

квадраты: 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16²=256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 25²=625

степени двойки: 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096

кубы: 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 8³=512 9³=729 10³=1000

простые числа до 50: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

приближения: √2 ≈ 1,41 √3 ≈ 1,73 √5 ≈ 2,24 π ≈ 3,14

Знать наизусть квадраты до 25 — не прихоть. На контрольной это две-три сэкономленные минуты и, что важнее, целые головы, свободные для смысла задачи. Тот же список пригодится при вынесении множителя из-под корня.

Памятка 5. Переводы единиц

Что переводим	Соотношение	Что чаще всего путают
Длина	1 м = 100 см = 1000 мм; 1 км = 1000 м	сантиметры с миллиметрами в чертеже
Площадь	1 м² = 10 000 см²; 1 га = 10 000 м²	делят на 100 вместо 10 000
Объём	1 м³ = 1000 л; 1 л = 1000 см³	литры с кубометрами
Масса	1 т = 1000 кг; 1 кг = 1000 г; 1 ц = 100 кг	центнер с тонной
Время	1 ч = 60 мин; 0,5 ч = 30 мин; 0,2 ч = 12 мин	0,2 часа читают как 20 минут
Скорость	1 м/с = 3,6 км/ч	умножают вместо деления и наоборот

Правило площади выводится, а не запоминается: метр — это сто сантиметров, значит квадратный метр — это сто на сто, то есть десять тысяч квадратных сантиметров. Если ученик может это объяснить, он больше не ошибётся.

Как готовиться к контрольной

Разбор задач — половина дела. Вторая половина — как именно к работе готовиться, чтобы за неделю не выгореть и не превратить подготовку в переписывание готовых решений. Ниже то, что я говорю классу перед каждой большой работой.

Почему «прорешать побольше» обычно не работает

Самая частая стратегия — сесть и решить сорок задач подряд. Она даёт куда меньше, чем кажется. Через десяток однотипных примеров рука работает сама, голова выключается, и ошибка, которая жила в решении с самого начала, спокойно повторяется сорок раз. К контрольной ученик приходит уставшим и с закреплённой ошибкой.

Работает другое: решить пять задач разных типов, каждую до конца и с проверкой, а потом честно посмотреть, где именно споткнулся. Пять внимательных задач с разбором ошибок дают больше, чем сорок механических.

План на неделю

Понедельник. Выписать список тем работы. Не «параграфы 12-18», а именно перечень: дроби, пропорция, уравнение с дробными коэффициентами, задача на движение. Напротив каждой темы поставить себе честную отметку от 1 до 3: понимаю / понимаю наполовину / не понимаю.
Вторник. Взять единственную тему с отметкой «не понимаю» и разобрать по ней две задачи с решением. Читать не глазами, а с карандашом: каждый шаг переписывать в тетрадь и рядом объяснять себе, почему шаг такой.
Среда. Ту же тему, но уже самостоятельно и без подглядывания. Получилось — переставить отметку. Не получилось — вернуться к разбору, обычно ломается на одном конкретном месте, и его надо найти.
Четверг. Перейти к темам с отметкой «наполовину». Их обычно три-четыре, на каждую хватает одной задачи.
Пятница. Смешанный день: пять задач по всем темам вперемешку, как на самой работе. Это принципиально — на контрольной задачи не будут стоять по темам, и мозг должен научиться сам определять тип.
Суббота. Работа над ошибками недели плюс формулы вслух. Именно вслух, по памяти, без листка.
Воскресенье. Ничего не решать. Отдых перед работой полезнее ещё одного часа зубрёжки — это видно по результатам из года в год.

Тетрадь ошибок

Заведите отдельную тонкую тетрадь. Каждая ошибка записывается тремя строками: как было решено, где именно свернули не туда, как правильно. Ни оценок, ни переживаний — только эти три строки.

Через месяц выясняется удивительное: разных ошибок у одного человека не двадцать, а три-четыре, и они кочуют из работы в работу. Потерянный знак при раскрытии скобок, забытый второй корень, невыполненный перевод единиц. Как только список назван по именам, ошибки начинают уходить — потому что перед сдачей работы ученик проверяет не «всё вообще», а свои три пункта.

Что делать на самой контрольной

Первым делом пробежать глазами весь вариант и отметить задачи, которые точно умеете. Начинать с них, а не по порядку.
Условие переписывать полностью и с единицами. Половина потерянных баллов — из-за того, что «метры» превратились в «сантиметры» уже при переписывании.
Застряли больше чем на пять минут — переходите к следующей. Вернётесь позже, и часто решение приходит само.
Ответ проверяйте на здравый смысл: скорость пешехода 60 км/ч, возраст 150 лет, вероятность 1,3 — это сигналы, а не мелочи.
Оставьте пять минут в конце и пройдите по своему списку из тетради ошибок. Это самая выгодная пятиминутка работы.
Черновик не выбрасывайте до конца урока. Иногда в нём находится правильное решение, которое потом зачем-то переписали неправильно.

Если ступор

Ступор на задаче — это не «я тупой», а нехватка первого шага. Помогают три вопроса, заданных именно в таком порядке. Что мне дано, выписал ли я это? Что требуется найти, могу ли сформулировать одной фразой? Какая величина связывает данное с искомым? На третьем вопросе решение обычно и трогается с места.

Если не трогается — начните с любого действия, которое точно можно выполнить с данными числами. Найдите хоть что-то: скорость сближения, площадь, сумму. Задача часто открывается после первого честно посчитанного числа.

Куда ещё заглянуть

Ссылки, которые я даю ученикам и родителям. Тренироваться лучше на официальных материалах, а не на случайных сборниках из поиска.

Открытый банк заданий ОГЭ на сайте ФИПИ — те самые формулировки, которые будут на экзамене.
Российская электронная школа — уроки по программе целиком, удобно, если пропустил тему по болезни.
Министерство просвещения России — расписание экзаменов и официальные документы, без пересказов.
Портал «Олимпиады для школьников» — сроки и задания олимпиад, в том числе тех, куда мы ездим от области.

Вопросы родителей

Собрала здесь то, что спрашивают на собраниях и пишут на почту. Отвечаю так же, как ответила бы в школьном коридоре, без педагогических формулировок.

Ребёнок списывает готовые решения из интернета. Что делать?

Ругать бесполезно, доступ не перекрыть. Работает подмена задачи: пусть спишет, а потом объяснит вам решение вслух, строчку за строчкой, и ответит, почему на третьем шаге сделано именно так. Объяснить чужое решение — это уже почти решить. А главное, сразу видно, где понимания нет. Мой сайт затем и написан шагами: списать с него голый ответ не получится, ответ стоит в конце разбора.

У нас «тройка» по математике, а раньше была «пятёрка». Мы что-то упустили?

Почти всегда упущена конкретная тема, а не «математика вообще». Чаще всего это дроби в шестом классе и раскрытие скобок в седьмом. Найдите, с какой четверти пошло вниз, и возвращайтесь именно туда. Подтягивать текущую тему, когда провалена предыдущая, — всё равно что красить стену без штукатурки.

Сколько времени в день нужно на математику дома?

В пятом-седьмом классе — сорок минут, из них десять на повторение старого. В восьмом-девятом — час. Больше полутора часов подряд не имеет смысла: внимание садится, и дальше идёт имитация работы. Лучше два коротких подхода с перерывом, чем один длинный.

Можно ли пользоваться калькулятором при домашней работе?

В пятом и шестом классе — нет, там как раз ставится счёт. Дальше можно, но с условием: сначала прикидка в уме, потом калькулятор. Если прикидка и калькулятор разошлись в разы, ищите ошибку, а не верьте экрану. На ОГЭ калькулятора не будет, и привычка считать в уме к девятому классу должна быть.

Ребёнок решает правильно, но получает «тройки» за оформление. Это придирки?

Нет. Оформление — это способ показать, что решение ваше, а не угаданное. На экзамене задание второй части с ответом без хода решения оценивается нулём баллов, как бы обидно это ни звучало. Так что за оформление ругаю и я, но объясняю зачем.

Стоит ли идти на олимпиаду, если мы не отличники?

Стоит, и вот почему. Школьный этап всероссийской олимпиады пишут все желающие, там задачи не «сложнее», а другие: на догадку, а не на отработанный приём. Дети, у которых с обычной программой средне, на таких задачах иногда раскрываются неожиданно. Даже если ничего не займёте — это два часа непривычного мышления, они полезны сами по себе. От Кемерова к областному этапу ездят каждый год, и попадают туда далеко не только круглые отличники.

Что за кружок и кого туда берут?

Кружок называется «Математический вторник», собираемся раз в неделю после уроков, в кабинете математики. Берём с седьмого по девятый класс, никакого отбора нет — приходят те, кому интересно. Занимаемся не программой, а задачами на соображение: разрезания, взвешивания, логика, немного теории чисел. Группа маленькая, десять-двенадцать человек, больше в кабинет просто не помещается.

Нужен ли репетитор или достаточно школы?

Честно: в большинстве случаев достаточно школы плюс полчаса дома. Репетитор нужен, когда есть провал на год-два назад и класс идёт дальше, а ребёнок стоит; или наоборот, когда программы мало и хочется вперёд. Если берёте — спрашивайте не про «стаж», а про то, как человек будет искать причину пробела. Занятия, где просто прорешивают домашку, денег не стоят.

У нас девятый класс. Когда начинать готовиться к ОГЭ?

Первая часть экзамена — это в основном материал пятого-восьмого классов. Значит начинать надо не в мае, а в сентябре, и не с вариантов, а с повторения дробей и процентов. Варианты целиком имеет смысл писать с января, примерно раз в две недели, обязательно по времени и без телефона под рукой.

Ребёнок говорит «я не понимаю объяснение в учебнике». Учебник плохой?

Учебник написан сжато, это его свойство, а не дефект. Помогает такой приём: читать не абзацами, а по одному предложению, и после каждого приводить свой пример с числами. Там, где пример не придумывается, и лежит непонятое место. Обычно оно одно на весь параграф.

Можно ли задать вопрос по конкретной задаче?

Да, пишите на почту info@oricats.ru. Сфотографируйте условие и обязательно приложите то, что уже пробовали сделать — так я вижу, где ход мысли свернул, и ответ получается полезнее. Отвечаю обычно в тот же вечер, но в конце четверти могу задержаться на день-два, там проверка работ.

Будут ли на сайте готовые домашние задания по номерам учебника?

Нет, и это принципиально. Списанный номер не даёт ничего, кроме отметки в тетради, а через месяц он же всплывает на контрольной, и списать неоткуда. Здесь разбираются типы задач: разобравшись с типом, свой номер ребёнок решит сам. Если нужного типа на сайте нет — напишите, добавлю. Половина разборов появилась именно так, по просьбам.