Математика по шагам

Разборы задач, а не готовые ответы. Кемерово, Ленинский район.

Алгебра: разборы задач 7-11 классов

На главной странице лежат разборы по общим темам школьного курса. Здесь собрано то, что относится именно к алгебре и требует отдельного разговора: преобразования выражений, дроби с буквами, неравенства и метод интервалов, модуль, банковские проценты и первые задачи из курса старшей школы.

Нумерация здесь своя, с буквой «А», чтобы не путать с задачами главной страницы. Порядок примерно соответствует программе: сначала седьмой-восьмой класс, ближе к концу — десятый и одиннадцатый.

Про алгебру у меня одно постоянное наблюдение. Ученик, который умеет аккуратно раскрывать скобки и приводить подобные, дальше идёт спокойно почти по любой теме. Тот, у кого это место хромает, спотыкается везде, и «непонятной» ему кажется каждая новая тема, хотя ломается всегда одно и то же. Если чувствуете за собой такое — не гонитесь за темой, вернитесь к скобкам.

Разложение на множители

Три приёма закрывают почти всю школу: вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения, группировка. Их и разбираем — именно в этом порядке их надо и пробовать.

Задача А-1 · вынесение множителя и формула · 7-8 класс

Разложите на множители: 3x3 − 12x.

Ход решения

  1. Сначала всегда ищем общий множитель. У 3 и 12 общий делитель 3, у x3 и x общий множитель x.
  2. Выносим 3x за скобки: 3x3 − 12x = 3x(x2 − 4).
  3. Смотрим на то, что осталось в скобках. x2 − 4 — это разность квадратов: x2 − 22.
  4. Раскладываем по формуле a2 − b2 = (a − b)(a + b): x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
  5. Собираем всё вместе: 3x(x − 2)(x + 2).
  6. Проверка обратным ходом: 3x · (x2 − 4) = 3x3 − 12x. Совпало с условием.

Ответ: 3x(x − 2)(x + 2).

Где ошибаются. Останавливаются на 3x(x2 − 4) и считают задачу решённой. Разложение доводят до конца: пока в скобках видна формула, работа не окончена. Второе место — выносят 3, но забывают про x, или выносят x3 вместо x. Выносится наименьшая степень, а не наибольшая.

Задача А-2 · группировка · 8 класс

Разложите на множители: 2x3 + 3x2 − 2x − 3.

Ход решения

  1. Общего множителя у всех четырёх слагаемых нет, формулы целиком тоже не видно. Значит пробуем группировку.
  2. Разбиваем на пары: (2x3 + 3x2) + (−2x − 3). Пары подбираем так, чтобы внутри каждой был свой общий множитель.
  3. В первой паре выносим x2: x2(2x + 3).
  4. Во второй выносим −1: −(2x + 3).
  5. Получилось x2(2x + 3) − (2x + 3). Одинаковая скобка в обоих слагаемых — признак, что группировка удалась.
  6. Выносим общую скобку: (2x + 3)(x2 − 1).
  7. Вторая скобка снова раскладывается как разность квадратов: (2x + 3)(x − 1)(x + 1).

Ответ: (2x + 3)(x − 1)(x + 1).

Где ошибаются. Во второй паре выносят +1 вместо −1 и получают разные скобки: (2x + 3) и (−2x − 3). Тогда кажется, что группировка не работает, и ученик бросает верный путь. Если скобки отличаются только знаками, вынесите из второй пары минус — и они совпадут.

Алгебраические дроби

Дробь с буквами живёт по тем же правилам, что и числовая, с одной добавкой: знаменатель не должен обращаться в ноль, и это надо оговаривать. Сокращать можно только множители, но не слагаемые — на этом ломаются почти все.

Задача А-3 · сокращение дроби · 8 класс

Сократите дробь (x2 − 9) / (x2 + 6x + 9).

Ход решения

  1. Сокращать сумму нельзя, поэтому сначала раскладываем на множители и числитель, и знаменатель.
  2. Числитель — разность квадратов: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).
  3. Знаменатель — полный квадрат суммы: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2. Узнаём его по среднему слагаемому: 6x = 2 · x · 3.
  4. Записываем дробь в новом виде: (x − 3)(x + 3) / (x + 3)2.
  5. Сокращаем на общий множитель (x + 3): остаётся (x − 3) / (x + 3).
  6. Указываем ограничение: знаменатель исходной дроби не равен нулю, значит x ≠ −3.

Ответ: (x − 3) / (x + 3) при x ≠ −3.

Где ошибаются. Сокращают «по кусочкам»: зачёркивают x2 сверху и снизу или девятку с девяткой. Сокращать можно только целые множители всей дроби. Проверьте на числах: возьмите x = 1, исходная дробь равна −8/16 = −0,5, ответ даёт −2/4 = −0,5. Сошлось — значит сокращали правильно.

Задача А-4 · сложение дробей с буквами · 8-9 класс

Упростите выражение 1/(x − 2) − 4/(x2 − 4).

Ход решения

  1. Раскладываем второй знаменатель: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2). Теперь виден общий знаменатель.
  2. Общий знаменатель — (x − 2)(x + 2). Первой дроби не хватает множителя (x + 2).
  3. Приводим: 1/(x − 2) = (x + 2) / ((x − 2)(x + 2)).
  4. Вычитаем: (x + 2 − 4) / ((x − 2)(x + 2)) = (x − 2) / ((x − 2)(x + 2)).
  5. Сокращаем на (x − 2): получается 1 / (x + 2).
  6. Ограничения берём из исходного выражения, а не из ответа: x ≠ 2 и x ≠ −2.
1/(x − 2) − 4/((x − 2)(x + 2)) = (x − 2)/((x − 2)(x + 2)) = 1/(x + 2)

Ответ: 1 / (x + 2), где x ≠ 2 и x ≠ −2.

Где ошибаются. Теряют ограничение x ≠ 2: в ответе двойка уже не мешает, но в исходном выражении она недопустима. На экзамене за это снимают балл. И второе: домножают только числитель, забывая про знаменатель, — дробь при этом меняет значение.

Неравенства и метод интервалов

Линейное неравенство решается как уравнение, с единственной поправкой на знак при делении на отрицательное. Квадратное решается по-другому — через корни и эскиз параболы. Смешивать эти два способа нельзя.

Задача А-5 · линейное неравенство · 8 класс

Решите неравенство 3(x − 2) − 5 > 4x + 1.

Ход решения

  1. Раскрываем скобки слева: 3x − 6 − 5 > 4x + 1.
  2. Приводим подобные слева: 3x − 11 > 4x + 1.
  3. Переносим все x влево, числа вправо: 3x − 4x > 1 + 11.
  4. Считаем: −x > 12.
  5. Делим обе части на −1. Внимание: при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Получаем x < −12.
  6. Проверка: возьмём x = −20. Слева 3 · (−22) − 5 = −71, справа 4 · (−20) + 1 = −79. Действительно −71 больше −79, неравенство выполняется.

Ответ: x < −12, то есть промежуток (−∞; −12).

Где ошибаются. Забывают перевернуть знак при делении на минус — и получают ровно противоположный ответ. Чтобы не попадаться, можно вообще не делить на отрицательное: перенесите иксы в ту сторону, где коэффициент останется положительным. В нашем примере это даёт −12 > x, что то же самое.

Задача А-6 · квадратное неравенство · 9 класс

Решите неравенство x2 − 5x + 6 ≤ 0.

Ход решения

  1. Находим корни соответствующего уравнения x2 − 5x + 6 = 0. По теореме Виета: сумма 5, произведение 6, значит корни 2 и 3.
  2. Смотрим на старший коэффициент: он равен 1, положительный — ветви параболы вверх.
  3. Отмечаем корни на числовой прямой и рисуем эскиз: парабола идёт сверху вниз, пересекает ось в точках 2 и 3 и снова уходит вверх.
  4. Нам нужны значения, где выражение меньше или равно нулю, то есть где график лежит ниже оси или на ней. Это участок между корнями.
  5. Неравенство нестрогое, поэтому сами корни входят в ответ — скобки квадратные.
   +          -          +
 -----o---------------o------->
      2               3
   ветви вверх, ниже оси -> [2; 3]

Ответ: 2 ≤ x ≤ 3, то есть промежуток [2; 3].

Где ошибаются. Решают квадратное неравенство как линейное: переносят и делят. Так нельзя — ответом здесь является промежуток между корнями, и получить его переносом невозможно. Второе: путают, где брать значения, когда ветви вниз. Всегда рисуйте эскиз, он занимает пять секунд и снимает вопрос.

Задача А-7 · система неравенств · 8-9 класс

Решите систему неравенств: 2x − 1 ≥ 5 и 7 − x > 0.

Ход решения

  1. Решаем каждое неравенство отдельно, как самостоятельное.
  2. Первое: 2x ≥ 6, значит x ≥ 3.
  3. Второе: −x > −7, делим на −1 со сменой знака, получаем x < 7.
  4. Отмечаем оба решения на одной числовой прямой, каждое своей штриховкой.
  5. Система означает «и то, и другое одновременно», значит берём пересечение — участок, где есть обе штриховки.
  6. Тройка входит (неравенство нестрогое), семёрка не входит (строгое). Отсюда и вид скобок в ответе.
 x >= 3   //////////////////////////>
 x <  7    x
 общее:   [3; 7)

Ответ: 3 ≤ x < 7, то есть промежуток [3; 7).

Где ошибаются. Берут объединение вместо пересечения и пишут в ответ всю прямую. Система — это «одновременно», совокупность — «хотя бы одно». Второе частое место: путают круглую и квадратную скобку. Строгий знак — круглая, нестрогий — квадратная; у бесконечности скобка всегда круглая.

Модуль

Модуль пугает видом, а по сути это всего лишь расстояние до нуля, поэтому оно не бывает отрицательным. Отсюда все правила и все ошибки.

Задача А-8 · уравнение с модулем · 8-9 класс

Решите уравнение |2x − 5| = 7.

Ход решения

  1. Слева стоит расстояние от числа 2x − 5 до нуля, справа семёрка. Значит само выражение под модулем равно либо 7, либо −7 — оба варианта дают расстояние 7.
  2. Первый случай: 2x − 5 = 7. Отсюда 2x = 12, x = 6.
  3. Второй случай: 2x − 5 = −7. Отсюда 2x = −2, x = −1.
  4. Проверяем оба корня подстановкой. При x = 6: |12 − 5| = 7 — верно. При x = −1: |−2 − 5| = |−7| = 7 — тоже верно.
  5. Оба корня подходят, значит ответ состоит из двух чисел.
  6. Если бы справа стояло отрицательное число, например |2x − 5| = −3, решений не было бы вовсе: расстояние отрицательным не бывает.

Ответ: x = 6 и x = −1.

Где ошибаются. Записывают только первый случай и теряют половину ответа. Модуль почти всегда даёт два случая, и оба надо выписать сразу, не откладывая. Ещё ошибка: «раскрывают» модуль как скобки, просто убирая палочки, — так модуль не работает.

Проценты банка и сложный процент

Здесь школьная математика ближе всего к жизни. Разница между простым и сложным процентом объясняется за две минуты, а стоит эта разница вполне ощутимых денег.

Задача А-9 · вклад со сложным процентом · 9-11 класс

Вкладчик положил в банк 40 000 рублей под 8 % годовых. Проценты начисляются раз в год и остаются на счёте. Какая сумма будет на счёте через два года?

Ход решения

  1. За первый год сумма умножается на 1,08: 40 000 · 1,08 = 43 200 рублей.
  2. Второй год проценты начисляются уже на 43 200 — в этом и состоит сложный процент.
  3. Считаем: 43 200 · 1,08 = 46 656 рублей.
  4. В одну строку: 40 000 · 1,082 = 40 000 · 1,1664 = 46 656.
  5. Сравним с простым процентом, когда проценты снимают каждый год: 8 % от 40 000 — это 3200 рублей в год, за два года 6400, итого 46 400 рублей.
  6. Разница составила 256 рублей — это как раз «проценты на проценты» за второй год: 8 % от 3200.
S = S₀ · (1 + p/100)ⁿ = 40 000 · 1,08² = 46 656

Ответ: 46 656 рублей.

Где ошибаются. Умножают 8 % на два года и прибавляют один раз — получают 46 400 и не замечают разницы. На двух годах она невелика, а на десяти уже заметна: 40 000 · 1,0810 ≈ 86 357 рублей вместо 72 000. Показатель степени равен числу начислений, а не числу лет: если проценты капают дважды в год, за два года начислений четыре.

Задача А-10 · два снижения подряд · 9 класс

Товар дважды подешевел на 10 %. На сколько процентов он подешевел в итоге?

Ход решения

  1. Снижение на 10 % — это умножение на 0,9. Два снижения — умножение на 0,9 дважды.
  2. Считаем множитель: 0,9 · 0,9 = 0,81.
  3. Осталось 81 % от начальной цены, значит подешевел товар на 100 − 81 = 19 %.
  4. Проверим на удобном числе: цена 1000 рублей → 900 → 810 рублей. Разница 190 рублей от тысячи, то есть 19 %.
  5. Почему не 20 %: второе снижение считается от уже уменьшенной цены, поэтому в рублях оно меньше первого.

Ответ: на 19 %.

Где ошибаются. Складывают проценты: 10 + 10 = 20. Проценты складываются только тогда, когда берутся от одной и той же величины. Здесь база меняется, поэтому работают множители, а не суммы. Тот же приём с множителями решает и задачи про подорожание, и смешанные — подорожало, потом подешевело.

Иррациональные уравнения и логарифмы

10-11 класс. Обе темы объединяет одно: решение обязано заканчиваться проверкой или областью допустимых значений. Формально верно найденный корень может не подходить, и это не редкость, а норма.

Задача А-11 · иррациональное уравнение · 10-11 класс

Решите уравнение √(2x + 3) = x.

Ход решения

  1. Сразу отмечаем: корень квадратный не бывает отрицательным, значит и правая часть должна быть неотрицательной — x ≥ 0. Это пригодится в конце.
  2. Возводим обе части в квадрат: 2x + 3 = x2.
  3. Переносим всё в одну сторону: x2 − 2x − 3 = 0.
  4. Решаем по теореме Виета: сумма корней 2, произведение −3, значит корни 3 и −1.
  5. Проверяем каждый в исходном уравнении. При x = 3: √9 = 3 — верно. При x = −1: √1 = 1, а справа −1 — не совпало.
  6. Корень −1 отбрасываем: он появился из-за возведения в квадрат. Такие корни называют посторонними.

Ответ: x = 3.

Где ошибаются. Записывают в ответ оба корня, не проверив. Возведение в квадрат — не равносильное преобразование: оно может добавить решения, которых в исходном уравнении не было. Правило простое: после возведения в степень проверка обязательна, даже если очень хочется поставить точку.

Задача А-12 · логарифмы · 10-11 класс

Вычислите log2 8 + log3 (1/9) и решите уравнение log2 (x − 1) = 3.

Ход решения

  1. Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень возвести основание, чтобы получить это число». Проговаривайте это вслух каждый раз, пока не станет привычным.
  2. log2 8: двойку в какую степень, чтобы вышло 8? В третью. Значит равно 3.
  3. log3 (1/9): тройку в какую степень, чтобы получить одну девятую? В минус вторую, ведь 3−2 = 1/9. Значит равно −2.
  4. Складываем: 3 + (−2) = 1.
  5. Теперь уравнение. По определению логарифма log2 (x − 1) = 3 означает x − 1 = 23.
  6. Отсюда x − 1 = 8 и x = 9.
  7. Проверяем область допустимых значений: под логарифмом должно стоять положительное число, x − 1 = 8 > 0. Условие выполнено, корень подходит.
loga b = c ⇔ ac = b, где a > 0, a ≠ 1, b > 0

Ответ: сумма равна 1; корень уравнения x = 9.

Где ошибаются. Забывают про область допустимых значений и оставляют корень, при котором под логарифмом получается ноль или отрицательное число. И путают, что где стоит: в записи log2 8 двойка — основание, восьмёрка — то, что получаем. Проверка на определение занимает секунду и снимает вопрос.

Первое знакомство с производной

11 класс. В школьном объёме производная нужна для одной практической вещи — найти, где функция растёт, где убывает и где у неё наибольшее или наименьшее значение. Формул для этого хватает трёх.

Задача А-13 · точки экстремума · 11 класс

Найдите точки максимума и минимума функции f(x) = x3 − 6x2 + 9x.

Ход решения

  1. Находим производную почленно. Производная x3 равна 3x2, производная 6x2 равна 12x, производная 9x равна 9.
  2. Записываем: f ′(x) = 3x2 − 12x + 9.
  3. Приравниваем производную к нулю: 3x2 − 12x + 9 = 0. Делим всё на 3: x2 − 4x + 3 = 0.
  4. Корни по теореме Виета: 1 и 3. Это критические точки.
  5. Определяем знаки производной на трёх участках. Подставляем удобные числа: при x = 0 производная равна 9 (плюс), при x = 2 равна 12 − 24 + 9 = −3 (минус), при x = 4 равна 48 − 48 + 9 = 9 (плюс).
  6. Где производная меняет знак с плюса на минус — точка максимума, это x = 1. Где с минуса на плюс — точка минимума, это x = 3.
  7. При желании считаем значения: f(1) = 1 − 6 + 9 = 4, f(3) = 27 − 54 + 27 = 0.
 f'(x)   +        -        +
       ------o---------o--------> x
             1         3
           максимум  минимум
 функция: растёт | падает | растёт

Ответ: x = 1 — точка максимума, x = 3 — точка минимума.

Где ошибаются. Путают точку максимума со значением максимума: в ответ идёт x = 1, а не f(1) = 4. Читайте вопрос буквально. И вторая ошибка: находят корни производной и останавливаются, не проверив смену знака. Корень, в котором знак не меняется, точкой экстремума не является.

Памятка: метод интервалов

Один и тот же порядок действий годится для квадратных неравенств, для дробей и для произведений. Выучите последовательность, а не отдельные случаи.

  1. Перенесите всё в левую часть, чтобы справа остался ноль. Это обязательный первый шаг: на что-либо делить обе части нельзя, знак может перевернуться.
  2. Разложите левую часть на множители.
  3. Найдите нули каждого множителя — это точки, где выражение обращается в ноль. Для дроби отдельно найдите нули знаменателя.
  4. Отметьте точки на прямой. Нули числителя при нестрогом знаке закрашиваем, при строгом оставляем пустыми. Нули знаменателя всегда выкалываем, независимо от знака.
  5. Определите знак выражения на самом правом промежутке, подставив большое число. Дальше знаки чередуются — но только если все корни простые, без повторов.
  6. Выпишите промежутки с нужным знаком и запишите ответ скобками.
 (x - 1)(x + 4) / (x - 3) >= 0

   -4        1         3
 ---o--------o---------o------->
  -     +      -     +
 ответ: [-4; 1] U (3; +бесконечность)

Точка 3 в ответ не входит никогда: в ней знаменатель равен нулю, а на ноль делить нельзя. Это место — самое частое на экзамене, и снимают там целый балл.