Геометрия: разборы с чертежом словами
Картинок на этом сайте нет намеренно. Во-первых, чужой готовый чертёж вредит: ученик смотрит на него и не строит свой, а половина решения по геометрии как раз в построении. Во-вторых, картинки плохо открываются с телефона в школьном коридоре и совсем плохо печатаются.
Поэтому здесь каждый чертёж описан двумя способами: сначала словами — что провести, что отметить, в каком порядке; потом грубой схемой из знаков, чтобы было видно взаимное расположение. Свой чертёж стройте по клеткам, карандашом и с линейкой. Циркуль нужен даже там, где кажется, что можно от руки.
Правило, которое я повторяю каждый год: условие переносится на чертёж полностью. Каждое число из условия должно быть подписано на рисунке, каждый равный отрезок помечен одинаковыми чёрточками, каждый прямой угол — квадратиком. Задача, у которой всё перенесено на чертёж, часто решается сама.
Углы треугольника
Сумма углов треугольника равна 180 градусам — на этом одном факте держится добрая треть задач седьмого класса. Добавьте к нему свойства равнобедренного треугольника и внешнего угла, и получится почти весь инструментарий.
Задача Г-1 · углы по отношению · 7 класс
Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 3. Найдите эти углы и определите вид треугольника.
Ход решения
- Отношение 1 : 2 : 3 означает, что углы можно записать как x, 2x и 3x — одна и та же часть, взятая разное число раз.
- Сумма углов треугольника равна 180°: x + 2x + 3x = 180.
- Приводим подобные: 6x = 180, отсюда x = 30.
- Возвращаемся к углам: первый 30°, второй 2 · 30 = 60°, третий 3 · 30 = 90°.
- Проверка: 30 + 60 + 90 = 180. Сходится.
- Один из углов прямой, значит треугольник прямоугольный. Заодно это самый известный треугольник школы — с углами 30, 60 и 90 градусов, где катет против угла в 30° вдвое короче гипотенузы.
Ответ: 30°, 60°, 90°; треугольник прямоугольный.
Где ошибаются. Делят 180 на три части поровну и потом «поправляют» на глаз. Отношение задаёт не равные части, а кратные: одна часть, две части, три части — всего шесть частей. Приём с иксом работает всегда, в том числе для отношений из четырёх чисел.
Задача Г-2 · равнобедренный треугольник · 7 класс
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найдите углы при основании и внешний угол при основании.
Как строить чертёж
- Проведите горизонтальный отрезок AB — это основание.
- Отметьте точку C выше середины основания и соедините её с A и B. Боковые стороны AC и BC пометьте одинаковыми чёрточками — они равны.
- Угол при вершине — это угол C, он между равными сторонами. Подпишите на нём 40°.
- Продлите основание вправо за точку B — понадобится для внешнего угла.
Ход решения
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим каждый через α.
- Сумма углов: 40 + α + α = 180.
- Отсюда 2α = 140, значит α = 70°.
- Внешний угол при основании смежен с внутренним, вместе они дают развёрнутый угол: 180 − 70 = 110°.
- Проверка вторым способом: внешний угол равен сумме двух несмежных с ним внутренних, то есть 40 + 70 = 110°. Тот же ответ.
C
/\ 40 град.
/ \
/ \ равные стороны
/ \ помечены = =
/________\_________
A B внешний угол 110
70 град. 70 град.
Схема условная, пропорции не соблюдены — она нужна только чтобы видеть, что где расположено.
Ответ: углы при основании по 70°, внешний угол 110°.
Где ошибаются. Считают углом при вершине любой из трёх и подставляют 40° к основанию. Вершина в равнобедренном треугольнике одна — та, что между равными сторонами. Полезная привычка: помечать равные стороны чёрточками сразу, тогда вершина видна глазом и путаницы не будет.
Параллельные прямые и секущая
Тема, где нужно всего два слова: накрест лежащие углы равны, односторонние в сумме дают 180°. Всё остальное выводится из них за один шаг.
Задача Г-3 · углы при параллельных · 7 класс
Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из образовавшихся углов равен 118°. Найдите остальные семь углов.
Ход решения
- При пересечении двух прямых секущей получается восемь углов — по четыре у каждой точки пересечения. Все они принимают лишь два разных значения.
- Смежный к данному угол: 180 − 118 = 62°.
- Вертикальные углы равны, значит у той же точки пересечения углы такие: 118, 62, 118, 62 — по кругу.
- Переходим ко второй точке. Соответственные углы при параллельных прямых равны, поэтому там повторяется тот же набор: 118, 62, 118, 62.
- Проверка через односторонние углы: 118 + 62 = 180. Верно, значит прямые действительно параллельны.
\ секущая
------------\------------ прямая a
118 \ 62
62 \ 118
--------------\---------- прямая b
118 \ 62
62 \ 118
Ответ: четыре угла по 118° и четыре по 62°.
Где ошибаются. Считают равными все углы подряд или, наоборот, начинают вычитать 118 из 360. Держите в голове только два числа: сам угол и его дополнение до 180. Больше значений при параллельных прямых не бывает, и это хорошая проверка себя.
Теорема Пифагора
Формула короткая, а условий два, и о них забывают: треугольник должен быть прямоугольным, и гипотенуза — это сторона против прямого угла, а не самая длинная на вид.
Задача Г-4 · практическая задача на Пифагора · 8 класс
Лестница длиной 13 м приставлена к стене дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы?
Как строить чертёж
- Проведите вертикальный отрезок — стена. Внизу проведите горизонтальный — земля. Угол между ними прямой, отметьте квадратиком.
- Соедините точку на земле с точкой на стене — это лестница, наклонный отрезок.
- Подпишите: лестница 13 м, расстояние по земле 5 м, высота неизвестна.
- Определите, где гипотенуза. Она лежит против прямого угла — это лестница, самая длинная сторона.
Ход решения
- По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: 132 = 52 + h2.
- Считаем: 169 = 25 + h2.
- Отсюда h2 = 144.
- Значит h = 12 (отрицательный корень отбрасываем, длина не бывает отрицательной).
- Проверка: 25 + 144 = 169. Верно. Кстати, тройка 5, 12, 13 — вторая по частоте после 3, 4, 5, её стоит запомнить.
стена |\
| \
| \ 13 м (лестница)
12 м | \
| \
|_____\
прямой 5 м
угол
Ответ: 12 метров.
Где ошибаются. Складывают квадраты всех данных подряд: 132 + 52, и получают около 13,9 м — лестница оказывается короче высоты, до которой достаёт. Прикидка спасает: высота обязана быть меньше длины лестницы. Гипотенузу ищут сложением, катет — вычитанием, это надо решить до подстановки чисел.
Площади
Формул немного, но у каждой своё «но»: высота берётся к нужной стороне, у трапеции складываются именно основания, а у ромба перемножаются диагонали и делятся пополам.
Задача Г-5 · площадь треугольника двумя способами · 8-9 класс
Найдите площадь треугольника: а) сторона 14 см, проведённая к ней высота 9 см; б) две стороны 8 см и 6 см, угол между ними 30°.
Ход решения
- Первый случай — основная формула: S = ½ · a · h, где h — высота, проведённая именно к стороне a.
- Считаем: S = ½ · 14 · 9 = 63 см2.
- Второй случай — формула через синус угла между сторонами: S = ½ · a · b · sin γ.
- Синус 30 градусов равен 0,5, это табличное значение.
- Считаем: S = ½ · 8 · 6 · 0,5 = 12 см2.
- Обратите внимание, почему формулы согласуются: b · sin γ — это и есть высота, опущенная на сторону a. То есть вторая формула не новая, а та же самая, записанная иначе.
Ответ: а) 63 см2; б) 12 см2.
Где ошибаются. Перемножают сторону и высоту без деления пополам — площадь удваивается. И берут высоту, проведённую к другой стороне: в условии должно быть прямо сказано, к какой. Если высота дана к неизвестной стороне, задача не решается, значит вы что-то прочитали не так.
Задача Г-6 · трапеция · 8 класс
Основания трапеции равны 12 см и 18 см, высота 8 см. Найдите среднюю линию и площадь.
Ход решения
- Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: m = (12 + 18) / 2 = 15 см.
- Площадь считаем по формуле S = ½ · (a + b) · h = ½ · 30 · 8 = 120 см2.
- Есть и вторая запись той же формулы, через среднюю линию: S = m · h = 15 · 8 = 120 см2. Ответ тот же, и это хорошая самопроверка.
- Заметьте: боковые стороны в вычислениях не участвуют вовсе. Их длина на площадь не влияет, важна только высота.
- Прикидка: трапеция «зажата» между двумя прямоугольниками — 12 на 8 (это 96) и 18 на 8 (это 144). Наш ответ 120 лежит между ними, значит порядок верный.
12
___________
/| \
/ | \
/ | 8 (высота) \
/___|_____________\
18
средняя линия = (12+18)/2 = 15
Ответ: средняя линия 15 см, площадь 120 см2.
Где ошибаются. Берут для площади боковую сторону вместо высоты — так бывает, когда в условии дана наклонная сторона и она «выглядит как высота». Высота обязательно перпендикулярна основаниям, на чертеже это отмечается квадратиком. Если перпендикуляра нет, высоту сначала надо найти.
Подобие
Подобные фигуры — это одинаковые по форме, но разные по размеру. Все соответствующие стороны отличаются в одно и то же число раз, а углы совпадают. На этом стоят все задачи про тень, столб и рост человека.
Задача Г-7 · высота дерева по тени · 8 класс
Шест высотой 1,8 м отбрасывает тень длиной 1,2 м. В это же время тень дерева равна 6 м. Какова высота дерева?
Как строить чертёж
- Проведите горизонтальную линию — землю. Поставьте на ней два вертикальных отрезка: короткий (шест) и длинный (дерево).
- От верхушки каждого проведите наклонный отрезок к концу его тени. Солнце одно, поэтому оба наклонных отрезка идут под одинаковым углом.
- Получились два прямоугольных треугольника с равными углами — значит они подобны.
Ход решения
- В подобных треугольниках отношения соответствующих сторон равны. Записываем пропорцию: высота шеста относится к своей тени так же, как высота дерева к своей.
- 1,8 : 1,2 = h : 6.
- Считаем левое отношение: 1,8 : 1,2 = 1,5. Значит высота в полтора раза больше тени.
- Отсюда h = 6 · 1,5 = 9 м.
- Проверка пропорции крест-накрест: 1,8 · 6 = 10,8 и 1,2 · 9 = 10,8. Равенство выполняется.
/|
/ |
/| / | h = ?
/ | 1,8 / |
/__| /____|
1,2 6
один угол солнца -> треугольники подобны
Ответ: высота дерева 9 метров.
Где ошибаются. Составляют пропорцию, перемешав величины: высоту одного с тенью другого. В левой и правой части должны стоять однотипные отношения — «высота к тени» и «высота к тени», а не наперекрёст. Проговорите вслух, что делите на что, прежде чем писать.
Окружность
Две вещи закрывают большинство задач: вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу, и радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Задача Г-8 · вписанный и центральный углы · 8-9 класс
Центральный угол окружности равен 80°. Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр?
Ход решения
- Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Его величина равна градусной мере дуги, на которую он опирается, значит дуга равна 80°.
- Вписанный угол — угол с вершиной на самой окружности. Он равен половине дуги: 80 : 2 = 40°.
- Важно: вписанных углов, опирающихся на эту дугу, бесконечно много, и все они равны 40°, где бы ни стояла вершина на большей дуге.
- Второй вопрос. Диаметр стягивает дугу в 180°, ведь он делит окружность пополам.
- Значит вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 180 : 2 = 90°. Это отдельная теорема, и её стоит помнить: любой треугольник, вписанный в окружность так, что одна его сторона — диаметр, прямоугольный.
A
/ \
/ \ центральный угол AOB = 80
/ O \ вписанный угол ACB = 40
/ /\ \
B---/ \---
C
O - центр, C - точка на окружности
Ответ: вписанный угол 40°; угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Где ошибаются. Умножают вместо деления и получают 160°. Запомнить, кто из них вдвое больше, помогает картинка: центральный угол «шире раскрыт», ведь его вершина ближе к дуге. Ещё ошибка — считать вписанным угол с вершиной внутри круга, но не на окружности; для такого правило половины не действует.
Задача Г-9 · касательная к окружности · 8-9 класс
Из точки P, удалённой от центра окружности на 10 см, проведена касательная. Радиус окружности 6 см. Найдите длину отрезка касательной от точки P до точки касания.
Ход решения
- Обозначим центр O, точку касания A. Отрезок OP равен 10 см, радиус OA равен 6 см.
- Ключевое свойство: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит угол OAP прямой.
- Получился прямоугольный треугольник OAP, где OP — гипотенуза (она лежит против прямого угла).
- По теореме Пифагора: AP2 = OP2 − OA2 = 100 − 36 = 64.
- Отсюда AP = 8 см.
- Проверка: 36 + 64 = 100. Верно, и снова знакомая тройка 6, 8, 10 — это удвоенная 3, 4, 5.
O
|\
6 | \ 10
| \
A---P
8
угол в точке A прямой (радиус _|_ касательной)
Ответ: 8 см.
Где ошибаются. Считают гипотенузой касательную, а не расстояние до центра. Гипотенуза всегда против прямого угла: прямой угол в точке касания A, значит гипотенуза OP. Полезно на чертеже сразу помечать прямой угол квадратиком, тогда путаницы не возникает.
Координаты и объёмы
Координатная плоскость превращает геометрию в вычисления: длина отрезка и середина находятся по формулам, чертёж нужен только для контроля. Объёмы — тема одиннадцатого класса, но простейшие фигуры считаются уже в шестом.
Задача Г-10 · длина отрезка и его середина · 9 класс
Даны точки A(−2; 3) и B(4; −5). Найдите длину отрезка AB и координаты его середины.
Ход решения
- Длина отрезка на координатной плоскости считается по формуле AB = √((x₂ − x₁)2 + (y₂ − y₁)2). Это та же теорема Пифагора, только записанная через координаты.
- Считаем разности: по x это 4 − (−2) = 6, по y это −5 − 3 = −8.
- Возводим в квадрат и складываем: 36 + 64 = 100.
- Извлекаем корень: AB = 10.
- Середина отрезка находится как среднее арифметическое координат: x = (−2 + 4)/2 = 1, y = (3 + (−5))/2 = −1.
- Проверка: середина обязана лежать между точками по обеим осям. Единица лежит между −2 и 4, минус единица — между 3 и −5. Верно.
AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), M((x₁ + x₂)/2 ; (y₁ + y₂)/2)
Ответ: AB = 10, середина M(1; −1).
Где ошибаются. Теряют минусы при вычитании отрицательных координат: пишут 4 − 2 вместо 4 − (−2). В формуле длины это не всегда заметно, потому что дальше идёт квадрат, а вот в координатах середины ошибка вылезает сразу. Второе: забывают извлечь корень и пишут в ответ 100.
Задача Г-11 · объёмы · 10-11 класс
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 4 и 5 см, а также объём цилиндра с радиусом основания 3 см и высотой 10 см.
Ход решения
- Объём параллелепипеда — произведение трёх измерений: V = a · b · c = 3 · 4 · 5 = 60 см3.
- Общая идея для всех «прямых» тел: объём равен площади основания, умноженной на высоту. Проверим на том же примере: основание 3 на 4 даёт 12, умножаем на высоту 5, снова 60.
- Для цилиндра площадь основания — это площадь круга: S = πR2 = π · 9.
- Умножаем на высоту: V = 9π · 10 = 90π см3.
- Если нужен численный ответ, берём π ≈ 3,14: V ≈ 282,6 см3.
- Смотрите на единицы: длины в сантиметрах — объём в кубических сантиметрах. Один литр это 1000 см3, значит наш цилиндр вмещает примерно 0,28 литра.
Ответ: 60 см3; 90π см3 ≈ 282,6 см3.
Где ошибаются. В формуле круга возводят в квадрат не радиус, а диаметр, либо берут πR вместо πR2. И округляют π в середине вычислений, а потом ещё раз в конце — ответ уезжает на единицы. Если в задаче не просят числа, оставляйте ответ с π, это и точнее, и короче.
Памятка: признаки равенства и подобия треугольников
Путаница между равенством и подобием стоит ученикам многих баллов. Равные треугольники совпадают при наложении, у них равны и углы, и стороны. Подобные имеют одинаковую форму, но разный размер: углы равны, а стороны пропорциональны.
Обратите внимание на слово «между ними» в первом признаке равенства. Если угол лежит не между данными сторонами, признак не работает, и такой набор данных треугольник не определяет однозначно — существуют два разных треугольника с одинаковыми двумя сторонами и углом, лежащим против одной из них.
Практическое замечание. В задаче на доказательство сначала выпишите столбиком всё, что дано, потом отдельно то, что нужно доказать, и только после этого ищите подходящий признак. Доказательство, начатое с середины, почти всегда оказывается неполным, даже если ответ угадан правильно.